Summary:
Count + + Numbering system
+ Addition and Subtraction Multiplication
+
Division
+ + Square Root
- Exponentiation
a "simplification"
Properties of powers
; negative or zero exponents
Multiplication and division of exponents
Power ... Powers!
+ + Logarithms
slide rule
A Simplification
In the history of mathematics, many concepts were introduced with the aim of simplify the calculations. So the multiplication is a way to simplify the calculation of the sum of many numbers the same, while the division is to see how many times can you subtract the divisor from the dividend. Even
exponentiation has a similar purpose: it is a simple way to indicate how many times a number is multiplied by itself. In fact, the definition is:
"Potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero che si dice base, mentre il numero dei fattori si dice esponente o grado della potenza".Come spesso accade in matematica, una volta introdotta una nuova operazione si cerca di sfruttarla il più possibile in modo da generalizzarne l'uso in tutti i modi possibili, a patto di rimanere sempre nell'ambito di una teoria coerente. ▲
Proprietà delle potenze
Ora vedremo come un concetto relativamente semplice (l'elevamento a potenza, appunto) può dar luogo a sviluppi veramente Important: The examples that follow I will always use the base 5 (can be replaced by any number, provided greater than zero and different from one). By definition of power, we have the following equivalences:
Let's see what happens multiplying two powers of the same basis:
The product of two powers of the same base is equivalent to a single power with the same base and exponent equal to the sum of the exponents of the two powers of departure.
The same reasoning can be done with the divisions, in fact
So far we are staying within the esponenti positivi, quindi nell'ambito della definizione di potenza. Ma come abbiamo già visto nelle puntate precedenti, le sottrazioni possono dar luogo allo zero o a numeri negativi. E cosa succede se l'esponente di una potenza diventa, appunto, zero o negativo? ▲
Esponenti negativi o nulli
Da quanto si vede qui sopra, qualsiasi numero (purché maggiore di zero), se elevato alla potenza zero, dà come risultato il numero uno. Ma si può andare oltre:
Esponenti negativi danno luogo al reciproco (ovvero la divisione 1:x) del valore della stessa potenza ma calcolata con esponente di segno positivo.
In questo modo abbiamo imparato a gestire la somma e la differenza degli esponenti, generalizzando il concetto di potenza anche quando gli esponenti diventano negativi. Non so se ve ne siete accorti, ma quello che stiamo facendo è "inventare" un'aritmetica degli esponenti! ▲
Moltiplicazione e divisione degli esponenti
La moltiplicazione degli esponenti dà luogo a quel concetto che a school we were taught as "the power of power." I make just a hint:
and division? Do not worry, the division of exponents can be done, even when their IQ is not an integer! We see the following expression:
But what is that number which, multiplied by itself three times, from 5? This number is the cube root of five, in fact:
The elevation to power 1: n means then extracting the nth root of the base. And a representative of the type 2 / 3? Simply said:
With this we have learned to use the exponents of each integer (with sign) and rational. One could continue the conversation even for irrational numbers, but this is not necessary to get to the point that interests me (in the next chapter), to go ahead with the speech just remember what I said above:
The product of two powers that have the same base is the same as a single power with exponent equal to the sum of the exponents of the two powers of departure, and this applies to all types of member: natural, integer, rational and even irrational.
Power ... Powers!
About delle potenze di 5 con cui abbiamo armeggiato finora: ecco qui una rappresentazione grafica delle potenze con esponente compreso fra 0 e 6, che dà un'idea di quanto aumentano i numeri nell'elevamento a potenza. ▲
Prossimo capitolo: i Logaritmi
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