Summary:
+ natural numbers
+ Still Aleph-zero
+ The historical context
- The Continuous
Line of Euclid
The 'numbers
The transcendental number
real numbers
The "Continuous"
power of the continuum
The proof of Cantor
+ the continuum hypothesis
The line of Euclid
Un punto è ciò che è privo di partiCredo che sia la più celebre definizione della geometria: è la prima fra quelle elencate da Euclide nei suoi "Elementi". Le successive tre invece sono:
Una linea è una lunghezza senza larghezzaSe fossi uno che non ne sa niente, non so se da queste definizioni, soprattutto la quarta, saprei immaginare cos’è una linea retta... meno male che tutti noi abbiamo almeno una volta tracciato una linea con righello e lapis! Però mi sembrano interessanti un paio di considerazioni:
Le estremità di una linea sono punti
La retta è quella linea che giace sui suoi punti in modo uniforme
- A line not only "has no width, but is made by points" that have no parts ": these points are so small, tiny, infinitesimal let's say, if I could draw an imaginary line, it would be absolutely invisible!
- The fact that the points are free to share, leads to form a continuous line of these points must be joined together with an extreme density, appear to see the punishment of "gaps". We shall see later reappear the concepts of density and continuity. ▲
The 'numbers
Working with lines and numbers, Richard Dedekind (1831-1916) has constructed a rigorous theory that we will describe in an intuitive way: a straight line can be used to represent all the existing numbers . In practice, it takes a straight line (of infinite length), draw a point that will be the source to assign the value zero, then you establish a unitary segment, and return to the right on how many times he wants, we get to the right of the zero positive natural numbers, negative numbers on the left.
course, the only points identified by the integers do not result in a line continues, but only a series of points spaced well apart. Then we add the rational numbers: dividing each unit segment into n equal parts, we obtain the representation of fractions of denominator equal to n, repeat this step for each n, we get infinite points on the line, representing rational numbers.
These points are distributed in a "dense", meaning that between any two rational points there are infinitely many other points of this type, because given two points P and Q any one can always find a new point X between P and Q: Just take the average: X = (P + Q) / 2. This can be repeated as many times as you want, so do not make sense to ask how many there are in the range of rational points they marked.
However, in dense, rational numbers do not "fill" the line completely. In fact, the point R = square root of two but is represented above the line (just bring on it, from the origin, the diagonal of the square of the segment [0-1]. However, it is not a rational, as we shown in previous chapters.
Using geometric methods can be drawn on the line many irrational numbers, but not all. For example, remained unresolved, the days of ancient Greece, the problem of "doubling the cube" to do this would be necessary to determine a segment corresponding to the cube root of two (it has proved impossible, at least with the help of the elementary means of classical geometry: line and the compass).
One of the myths that surround the problem of duplication of the cube is as follows. The inhabitants of Delos, Apollo's oracle queried on how to break free from the plague, were ordered to build an altar, rectangular, double the volume compared to the existing one. Given the impossibility of determining a segment with ruler and compass proportional to the cube root of two, this altar must not have been ever built, then who knows the people of Delos as they did to get rid of the plague ...
Whether many points can not be drawn with classical methods, we can imagine, however, to identify our line all algebraic numbers, namely those of the type discussed in the previous chapter: are those numbers which are obtained by solving any polynomial equation of any degree. But even as we cover all the straight, in fact ... ▲
The transcendental number
... esiste una classe di numeri detti "trascendenti", che sono gli irrazionali non algebrici. Il caso più noto è quello di pi greco: dall’antichità si cercava di capire che razza di numero fosse, e se si potesse fare la quadratura del cerchio (disegnare, con riga e compasso, un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato). Ne parla anche Dante nel canto XXXIII del Paradiso:
Qual è ‘l geometra che tutto s'affigeInsomma ce n’è voluto del bello e del buono, ma finalmente (solo!) nel 1882 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) dimostrò la trascendenza di pi greco chiudendo definitivamente la questione della quadratura del circle. In those years, they found many other issues of this type, though not so easy to prove the transcendence. ▲
per misurar lo cerchio, e non ritrova...
real numbers
Finally, we can define a new class of numbers: the so-called real numbers. Is the set of all numbers, natural, rational, irrational and transcendental. As I mentioned, Dedekind has demonstrated the ability to put points on the line-one correspondence with real numbers, since the points on the line are something continuous but the real numbers that identify a set possiamo definire "continuo".
Rimane però la questione se tutti questi numeri trascendenti, o meglio i numeri reali, possano essere ancora "contati" oppure no, ovvero se l’insieme dei numeri reali abbia cardinalità maggiore rispetto all’insieme dei numeri naturali.
Il problema è che non si può fare un elenco di tutti i possibili numeri trascendenti; alcuni sono i risultati del calcolo di funzioni trigonometriche, logaritmiche e altre cose del genere, ma a molti, a moltissimi altri non sapremmo neanche dare un significato matematico. Mi spiego meglio: se è vero che a un numero decimale periodico so sempre assegnare una frazione generatrice, quindi riesco sempre a understand the nature of a real number I can never know which mathematical expression was derived, to do this should know everyone, but all its infinite decimal.
an example: if I see the number 3.14 ... I immediately comes to mind more greek. But to know that this number is really more greek I know all the places, but everyone, would take a different figure to the billionth decimal place to make it something different!
So we found a new class of numbers that is impossible to categorize. We will be able to find a mica class of numbers that is no longer "book", or that they can not be put in correspondence with the numbers natural? ▲
The "Continuous"
The answer is finally ... Yes, Georg Cantor (1845-1918) has found a way to show that there are numbers that can not be counted. I provide a detailed demonstration below, I limit myself here to describe it. It is a reductio ad absurdum: imagine that you have drawn up a numbered list of all real numbers between 0 and 1, each with its infinite number of decimal places. Cantor is able to create a new number, different from all others in this way contradicts the hypothesis (that the real number was represented in the collection each initial).
Here we are in point: we finally have a package that can not have cardinality aleph-0 because it has at least one element that escapes the count. The set of all real numbers then assigns the cardinality c (the letter c was chosen because this set is for "continuous"). For now we know that c is certainly greater than Aleph-0 ... but the developments that ensue from this discovery require an entire chapter of this story (the next). ▲
power of the continuum
begin to analyze this c . Meanwhile, try to see if a long segment has more points than a shorter segment: the answer is no, because you can always show the correspondence between the points of two segments of different lengths (each point in segment [0 -1] has its corresponding A segment [0-2]).
# 1
Now let's see if a line of infinite length of a segment with the most points over: once again the answer is no, because even in this case shows lo stesso tipo di corrispondenza. La dimostrazione si fa con il disegno qui sotto: si mettono in corrispondenza i punti di un semicerchio che ha centro in P con i punti della retta sottostante. A ogni punto del semicerchio corrisponde un punto della retta infinita: A - a , B - b , e C - c con c che evidentemente è ben fuori dal disegno, sulla sinistra.
#2
Ecco un risultato interessante: l’insieme dei punti di un segmento unitario (o l’insieme dei numeri reali nel campo [0-1]) ha la stessa potenza dei punti di una retta infinita (o dell’insieme di tutti i numeri reali).
Ma non finisce qui: proviamo a vedere se una superficie finita ha più punti di un segmento finito: ancora la risposta è no! Proviamo a considerare i punti di un quadrato unitario. Ogni suo punto può essere identificato da una coppia di coordinate X e Y comprese fra 0 e 1:
#3
A partire dai numeri che definiscono le coordinate X e Y posso creare un nuovo numero R intercalando le cifre dei decimi, poi quelle dei centesimi, poi dei millesimi e così via. In questo modo avrò un unico numero che esprime la coppia di coordinate, anch’esso compreso fra 0 e 1: Therefore, there is a correspondence between each pair of coordinates and a real number. Let me give an example:
R From the number I can easily get to the two coordinates X and Y : the decimal digits of odd order R will coordinate X; the order digits of the coordinate Y .
repeating the method described by Figure # 2 for the surface instead of segments / lines can be shown that there is also a correspondence between the points of a surface finished with the points in the infinite plane. And using the system shown in Drawing # 3 I can define a new number R that instead of starting from a pair of coordinates X and Y, use three coordinates X Y Z and three-dimensional space. Then
c, the cardinal number that indicates the power of the continuum, can be used to define the power of the sets of all real numbers, points of the segment, the straight line, plane, space ... etc. etc.!
The proof of Cantor
I describe here the "Cantor's diagonal proof, with some simplifications as not to complicate the reading. Chi fosse interessato può leggere questo articolo su wikipedia .
Supponiamo per assurdo che l'intervallo dei numeri compresi fra 0 e 1 sia numerabile. Questo significa che gli elementi dell'intervallo possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo ad una successione di numeri reali R1, R2, R3, ... che esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1.
Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma decimale e visualizzare la successione di numeri reali come una matrice infinita che avrà più o meno quest'aspetto:
R1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
R2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
R3 = 0 . 8 2 0 2 4 5 6 ...
R4 = 0. 0 2 3 3 1 2 6 ...
R5 = 0. 4 1 0 7 4 6 2 ...
R6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8 ...
R7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5 ...
...
In this table I have indicated in bold type the numbers that appear on the diagonal (the first decimal place of the first issue, the second of the second, and so on). We now construct a new real number X that has all figures different from the sequence on the diagonal. Proceed as follows: If a digit appears on the diagonal is 5, we replace it with a 4, all other cases, we replace it with a 5 (the choice of figures 4 and 5 is arbitrary). In the example we get:
X = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...
All'inizio dell'argomento avevamo supposto che la nostra lista dei numeri enumerasse tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1, quindi dovremmo avere uno dei numeri R, diciamo l'ennesimo, per cui Rn = X. A questo punto emerge una contraddizione: per come abbiamo costruito il numero X, l'ennesima cifra di X dovrebbe essere diversa dall'ennesima cifra del numero Rn. Questo è impossibile, e ne segue che l'ipotesi di partenza è falsa e cioè che l'intervallo dei numeri compreso fra 0 e 1 non è numerabile. ▲
Prossimo capitolo: L'ipotesi of Continuous
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