Start here an explanation that begins with some consideration on the natural numbers, their "quantity" e la ricerca di vari tipi di insiemi infiniti. Il tutto con il racconto dei personaggi, delle conquiste e, purtroppo, dei clamorosi fallimenti: è un racconto a tratti davvero avvincente.
Sommario:
– I numeri Naturali
Insiemi e "corrispondenza biunivoca"
Numeri infiniti
Aleph-zero
Infiniti "smaller"?
transfinite numbers
Intermezzo: the hotel with infinite rooms
+ More Aleph-zero
+ The historical context
+ + The Continuous
the continuum hypothesis
Collections and "Match Bijective "
Set theory I was taught in school only when it became" fashionable "I began to wonder what it was. All those endless definitions such as" unions "," intersection "function" injected "and" surjective "... it just seems a way to harass the poor students. So I have not seen the practical value until I came across in the study of infinity, for which studies are really just two only concepts: collection, in fact, and the "correspondence".
A set is a collection of objects of various kinds, all different (or at least distinguishable) one other. For example, I consider that my left hand is all five of his fingers, his right hand and the other set of five fingers.
Question: How do I determine if these two sets (the hands) contain the same number of elements (fingers)? I can count:
Or I can correlate each finger of his left hand with their finger right:
In the latter case I have implemented the concept of "correspondence "to each element (finger) of the first set (left hand) is the one and only one element (finger) of the second set (right hand), and vice versa. Having joined the fingers of both hands as shown in the photo, I can say without a shadow of doubt that the "power", or "cardinality", or simply the number of elements contained by each of the two sets is the same. There is no need to count them, there is no need at all to know how many, the question was: have the two sets the same number of elements? The answer is undoubtedly: Yes.
If the left hand missing two fingers
the correspondence there would be no more. The left hand fingers will find their correspondence in their right hand fingers, ma qualche dito della mano destra non lo troverebbe più nella mano sinistra: ecco quindi che, anche non sapendo quante dita (elementi) contiene ciascuna mano (insieme), posso affermare che la mano destra ha una "potenza", o "cardinalità", o un numero di elementi, superiore alla mano sinistra.
Tutto quanto detto finora è intuitivo, direi quasi banale, perché ci siamo occupati di insiemi non solo finiti, ma insiemi di cui è facile contare il numero di elementi. Facciamo invece un esempio con insiemi più grandi (ma sempre finiti). Ammettiamo di radunare in un una piazza una quantità molto grande di persone, e di voler stabilire se ci sono più maschi o più femmine. Siccome le persone sono tante...
... I can not count them without making mistakes, especially if, as seems likely, there will stand still. Then I ask them to in pairs: each male will have to find a female with whom to hold hands. At this point just to see if the "advanced" men (which would then be a greater number of females) or female (they would be in greater number of males), and if there are leftovers, it means that the number of the two groups is exactly the same . Again, I do not know how many elements of each set (male / female) but I decided what the whole is greater, or if they have the same power and are equipotent. ▲
Numeri Infiniti
Parliamo ora di numeri. Impariamo a contare dalla più tenera età, e scopriamo che c’è sempre un "numero più grande". Quando riusciamo a contare fino a cento, scopriamo subito che c’è anche il centouno. Fino al mille, e c’è il milleuno! Intuiamo presto che non ci sarà mai fine: magari non sapremo "come si chiama", ma ci sarà sempre un numero più grande di qualunque numero riusciamo ad immaginare. Ecco, abbiamo trovato il più classico esempio di "insieme infinito": l’insieme dei numeri naturali.
E qual è la cardinalità dell’insieme infinito dei numeri naturali? Non posso certo dire quanti numeri contiene, perché sono infiniti; e dire che questa cardinalità è infinito non sarebbe di nessuna utilità, in quanto "infinito" non è un numero. ▲
Aleph-zero
Per risolvere questo problema Georg Cantor (1845 – 1918), il padre della teoria degli insiemi, ha deciso di identificare la cardinalità dell’insieme dei numeri naturali con un simbolo costituito dalla prima lettera dell’alfabeto Hebrew alphabet, Aleph, and the index 0:
Unlike the name "infinite," the Aleph-zero value assumes full dignity of numbers, so much so that on this and other numbers like you can do special calculations arithmetic. ▲
Infiniti "smaller"?
Returning to our natural numbers, we can now invent another infinite set, one containing only even numbers. Apparently a group that lacks all the odd numbers should have less power than the set of all natural numbers. But is it true?
Being infinite, it is obvious that I can not "count" the elements of each of these sets. But I can use the concept of correspondence, and thanks to this stratagem to establish if really all just numbers that are both smaller than the other, much like I did with my hands of three and five fingers.
Then write two columns on the numbers of the two sets: the natural numbers to the left, right, even numbers, then each line contains a number (left) and its dual (right), and the dash is a represent the correspondence between the elements of each set:
1-2
2 - 4
3-6
4-8
........
Evidently each of the set of natural numbers is left of its correspondent in his double in the right, and each number is equal right of all its corresponding number in the left half of the whole. Between the two sets is a state of correspondence, so they have the same power!
I can repeat the process with the square numbers, by matching the natural numbers with their squares:
1 to 1 ² x 1 = 1 = 1
2 to 2 ² = 2 x 2 = 4
3 - 3 ² = 3 x 3 = 9
4-4 ² = 4 x 4 = 16
........
The square numbers are even more "sparse" of even numbers ... and yet the whole has the same power of natural numbers. Just came across this argument in Galileo Galilei, who in "Dialogue Concerning the Two Chief World Systems" says "infinite in number, if we could conceive it, we should say, many many to be the square with the numbers" . In practice understands the principle that an infinite set has the same power as a part of it, saying that "the squares are less than the whole" , but does not venture to say that they own in equal numbers: it concludes "attributes equal major and minor do not have the infinite place, but only in how many terms" .
I now want to take another example, I put just to try to explain what can be great ... a big number! Create another set of numbers, not equal, not square, but not cubic or other powers: we create the set of numbers called factorial. Which are the product of all integers between 1 and the number given (the numbers indicate the factorial is the exclamation point):
1 to 1! = 1
2-2! = 1 x 2 = 2
3-3! = 1 x 2 x 3 = 6
4 - 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
The numbers go up very quickly. Let some other examples:
5-5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6-6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
......
59 to 59! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 58 x 59 = about 1 followed by 80 zeros.
Here, the latter number, a 1 followed by 80 zeros ... is approximately equal to the total number of atoms that make up the entire universe. That is, we are putting the number at 59, a simple number, I would use everyday, with one of the leading figures who have some physical meaning in nature! And going forward with larger numbers, practical results impossible to write ... Can you imagine?
60 to 60! = About 8 followed by 81 zeros, 80 times the number of atoms in the universe
61 - 61! = about 5, followed by 83 zeros, 5000 times the number of atoms in the universe
100 to 100! ; = about 9 followed by 157 zeros
1000 to 1000! = about 4 followed by 2567 zeros
....
So are numbers that have nothing to compare with anything real. Note that the left we came across only one thousand, but if we put a billion, this number would quietly into the relevant factor in all the numbers ... though I can not even imagine how many digits will be the factorial of a billion!
Despite this, the sets of natural numbers and the numbers are indeed equipotent factor and therefore have the same cardinality. ▲
Numeri Transfiniti
Con questi discorsi abbiamo intuito che non è possibile trovare un sottoinsieme dei numeri naturali che sia infinito ma che abbia potenza minore dei numeri naturali stessi. In pratica l’insieme dei numeri naturali è il più piccolo insieme infinito esistente, la cui cardinalità, come dicevamo è identificata dal simbolo Aleph-0. Aleph-0 è il primo dei numeri cosiddetti "transfiniti". Procederemo nel prossimo capitolo alla (per il momento) vana ricerca di quelli successivi, relativi a infiniti "più grandi"... ma adesso facciamo un intermezzo!
Intermezzo: l'albergo con infinite stanze
The other day I walked into this hotel which claimed to have ... endless rooms. When they told me they were all occupied, I asked if we could not do something we thought about the porter, and then asked all guests to move around the room equal to the number who were occupying a more . So the guest room number one has gone in two, one of two in three and so on, as if by magic, has remained free room number one, which I happily busy having first bestowed upon an appropriate tip for the doorman.
The next day came a 1000 bus with tourists, but the hotel was always full: the keeper repeated the trick, asking a tutti gli ospiti di spostarsi nella stanza di numero uguale a quella già occupata più mille. Mi sono ritrovato nella stanza 1001.
Il giorno dopo ancora è arrivato un altro pullman, questa volta con infiniti turisti a bordo. Impossibile trovare alloggio per tutti? Macché: a ogni ospite dell'albergo è stato chiesto di spostarsi nella stanza di numero uguale al doppio di quella occupata. Si sono così liberate tutte le stanze dispari, in cui hanno trovato posto i nuovi arrivati; per quanto riguarda me, mi sono ritrovato nella stanza 2002 (in quest'albergo non si sta mai tranquilli!).
Il giorno dopo ancora, gli infiniti ospiti del pullman del giorno prima se ne sono andati. A questo punto il portiere (che ho scoperto essere anche il proprietario dell'albergo) si è messo a imprecare, e diceva: "come si fa a mandare avanti un albergo come questo, se metà delle stanze sono vuote?"
Gli ho suggerito io la soluzione: basta che ciascun ospite torni nella stanza metà di quella che occupava (in pratica tornando alla situazione precedente all'arrivo degli infiniti turisti). Paradossi dell'infinito...
Per questa storiella mi sono ispirato al racconto "L'hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo" di Stanislaw Lem, pubblicato nel libro "Racconti matematici" edito da Einaudi. [Lem è anche l'autore del romanzo di fantascienza "Solaris", dai which was made into the 1972 film of the same name].
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